turunan fungsi

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ahli matematika dan fisika bangsa ingris dan Gottifred Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit^.Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan fungsi ƒ adalah fungsi lain ƒ’ (dibaca “ƒ aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

ƒ’(c) =

asalkan limit ini ada.

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa ƒ terdiferensialkan (terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus difensial.

Contoh yang membantu menjelaskan.

Jika ƒ(x) = x³ + 7x. Cari ƒ’(c).

Penyelesaian

ƒ’(c) =

 

                   

 

                    3c² + 7

a.       Turunan Dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:

1.      f(x), maka f'(x) = 0

2.      Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

3.      Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}

4.      Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

5.      Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

b.      Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1.     ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

2.     ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)

3.     (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

4.     ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

c.       Turunan Fungsi Trigonometri

1.     d/dx ( sin x ) = cos x

2.     d/dx ( cos x ) = - sin x

3.     d/dx ( tan x ) = sec² x

4.     d/dx ( cot x ) = - csc² x

5.     d/dx ( sec x ) = sec x tan x

6.     d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

d.      Turunan Fungsi Invers

       (f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy

2.2  Rumus-rumus Turunan Fungsi Matematika

          Untuk memudahkan belajar, berikut rumus hitung rangkumkan berbagai rumus rumus turunan.

a.         Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real, maka dy/dx = cn xn-1

Contoh :

y = 2 x 4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3

kadang ada soal yang memakai pangkat pecahan atau akar

y =  = 2 x^1/2 turunannya adalah  ( = x- =

b.         Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

Contoh Jika y = 6  maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

c.         Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f’(x) + g’(x)

Contoh :

y = x³ + 2 x² maka y’ = 3 x² + 4x

y = 2x⁵ + 6 maka y’ = 10x⁴ + 0 = 10x⁴

d.        Rumus 4 : Turunan perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f’(x).g(x) + g’(x).f(x)

contoh :

y = x² (x² + 2) maka

f(x) = x²

f’(x) = 2x

g(x) = x² + 2

g’(x) = 2x

Kita masukan ke rumus y’ = f’(x).g(x) + g’(x). F(x)

y = 2x (x² + 2) + 2x.x²

y = 4x³ + 4x

e.         Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

Jika y =  maka  =

contoh :

y =

ƒ(x) = x maka ƒ’(x) = 1

g(x) = maka g’(x) = 2x

 =  =

f.       Rumus 6 : Jika kamu mempunyai y = [ƒ(x)] maka turunannya adalah n [f(x)]n-1.f(x)

Contoh :

g.      Rumus 7 : Turuntan logaritma Natural misal y = 1n f(x) maka turunannya

Contoh :

h.    Rumus 8 : ef(x) maka  = ef(x).f(x)

Contoh :

y = e2x + 1

f(x) = 2x + 1

f’(x) =2
maka f’ = e2x + 1.2 = 2e2 + `

i.        Rumus 9 : Turunan trigonometri Sin

Jika y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x).f’(x)

Contoh :

y = sin (x² + 1) maka

y’ = cos (x² + 1).2x.cos (x² +1)

j.        Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

Jika y = cos f(x) maka turunannya y’ = -sin f(x).f(x)

Contoh :

y = cos (2x+1) maka tUrunannya

y’ = -sin (2x+1) = - sin (2x+1)

Rumus turunan kedua
rumus turunan ke dua sama dengan turunan dari turuan pertama (turunkan sebanyak dua kali).

Contoh :

Rumus turunan Kedua Dari x³ + 4x²

Turunan pertama : 3x² + 8x

Turunan kedua : 6x + 8

2.3  Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kita akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f′(x)=0. Jikax=a adalah nilai xyang memenuhi persamaan f′(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a)adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).
Jenis nilai ekstrim fungsi dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika:

f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0.

Nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika:

f ‘(x) = 0 dan f “ (x) > 0.

Contoh 1

Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f (t)

(dalam meter) padat sekon dimodelkan dengan f (t) = 16t2 + 200 t + 4.

Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon.

Penyelesaian:

Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah: f (t) = 16t2 + 200 t + 4

Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi

ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut :

f ‘ (t) = 32t+ 200 ⇔f ‘ (3) = 32(3) +200 = 296

Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon adalah 296 m/s.

Contoh 2

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya x³ –

600x²  + 112.500 x rupiah. Berapa unit barang yang harus diproduksi setiap

harinya supaya biaya produksi menjadi minimal?

Penyelesaian:

Misalkan biaya produksi per hari adalah p(x), maka biaya produksi akan

minimum untuk nilai x yang memenuhi persamaan p′(x)=0 dan p′′(x)>0.

p′(x)=0

⇔3x² −1.200x+112.500=0

⇔x²−400x+37.500=0

⇔(x−150)(x−250)=0

⇔x=150 atau x=250

Oleh karena p′′(x)=6x−1.200 dan p′′(250)=6(250)−1.200=300>0, maka

jumlah barang yang harus diproduksi tiap harinya agar biaya minimum adalah

250 unit.

Contoh 3

Sebuah bola tenis ditembakkan ke atas. Jika tinggi bola tenis (cm) dari

permukaan tanah setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t−5t2, maka

tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis tersebut.

Penyelesaian:

Bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah

untuk t yang memenuhih′(t)=0 dan h”(t)<0

h′(t)=0

⇔120−10t=0

⇔10t=120

⇔t=12

Oleh karena h “ (x) = -10 < 0, maka bola tenis akan mencapai ketinggian

maksimum dari permukaan tanah. Selanjutnya dengan mensubtitusikan

t=12 ke h(t) diperoleh

h(12)=120(12)−5(12)2=720.

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis adalah 720

cm.

Contoh 4

Sebuah perusahaan peralatan dapur memproduksi x unit barang dengan

biaya (x²−70x+250) ribu rupah. Jika pendapatan setelah semua barang habis

terjual adalah 100x ribu rupiah, maka hitung keuntungan maksimum yang

dapat diperoleh perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan keuntungan perusahaan adalah f(x), sehingga:

f(x)= pendapatan–biaya.produksi

⇔f(x)=100x−(x²−70x+250)

⇔f(x)=−x²+170x−250

Keuntungan maksimum akan diperoleh untuk nilai x yang

memenuhi f′(x)=0 dan f”(x)<0

f′(x)=0

⇔−2x+170=0

⇔2x=170

⇔x=85

Oleh karena f “ (x) = -2 < 0, maka keuntungan yang diperoleh adalah

maksimum.

Besar keuntungan pada saat x=85 adalah f(85)=−852−70(85)+250=175.

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 175.000 rupiah.