turunan fungsi implisit parameter dan tingkat tinggi

Dalam kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x² -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!

Langkah

Metode 1

Menurunkan Persamaan-Persamaan Sederhana dengan Cepat

1. 
   

   
   1
   Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.
   

   • Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 memiliki dua suku x: x² dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:

     x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

     (Bawalah turun pangkat 2 dalam x² sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

     2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
2. 
   

   
   2
   Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.
   

   • Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

     2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

     (Bawalah turun pangkat 2 dalam y² sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).

     2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0
3. 
   

   
   3
   Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g.^[1] Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g.^[2]
   

   • Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y — 2xy². Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:

     2xy² = (2x)(y²)— set 2x = f and y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

     (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

     (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

     (f × g)' = 2y² + 4xy(dy/dx)

   • Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0
4. 
   

   
   4
   Sendirikan (dy/dx). Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian.^[3] Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).
   

   • Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:

     2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

     (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

     (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

     (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

     (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Metode 2

Menggunakan Teknik-Teknik Lanjut

1. 
   

   
   1
   Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Selamat! Anda sudah menurunkan persamaan Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Anda ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).
   

   • Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di atas. Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x dan -4 untuk y, diselesaikan seperti berikut:

     (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

     (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

     (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

     (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

     (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

     (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, atau 0,6875.
2. 
   

   
   2
   Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.
   

   • Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x² + x) sebagai bagian dari soal turunan fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x² + x) + y³ = 0. Jika kita membayangkan sin(3x² + x) sebagai f(x) dan 3x² + x sebagai g(x) , kita dapat mencari turunannya seperti berikut:

     f'(g(x))g'(x)

     (sin(3x² + x))' × (3x² + x)'

     cos(3x² + x) × (6x + 1)

     (6x + 1)cos(3x² + x)
3. 
   

   
   3
   Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z. Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).
   

   • Misalnya, katakan kita mencoba menurunkan x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.
   • Pertama, ayo turunkan terhadap x dan masukkan (dz/dx). Jangan lupa untuk menerapkan aturan hasil kali jika diperlukan!

     x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

     3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

     3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x

     (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

     (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

   • Sekarang, lakukan hal yang sama untuk (dz/dy)

     x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

     2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

     (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

     (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)