Matriks: Juli 2019

Suatu hal yang sudah umum pada suatu persamaan kuadrat. Ketika dulu masih SMA kelas 10 diberikan rumus untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi kuadrat. rumus yang berhubungan dengan persamaan kuadrat. tentunya sekarang akan diberikan rumus yang lebih komplit. Karena bukan hanya pada persamaan kuadrat, bahkan cara ini juga bisa digunakan untuk persamaan dengan pangkat berapapun. Yaitu dengan menggunakan turunan.

Pada suatu kurva di dalam suatu selang tertutup, maka di sana akan terdapat nilai maksimum atau nilai minimum.

Jika f kontinu pada selang tutup $[a,b],$ maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana

Keberadaan minimum dan maksimum pasti ada pada suatu selang tertutup. Ini sangatlah jelas, apalagi kurva yang ada di dalamnya adalah kurva naik atau kurva turun. Untuk kurva yang datar, di semua titik adalah maksimum dan minimum. Suatu hal yang baru untuk kita.

Titik Kritis. Adalah titik dimana pada titik tersebut sangat membantu untuk membatasi suatu turunan. Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika $f(c)$ adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

1.Titik ujung dari $I$

2.Titik stasioner dari $f(f'(c)=0)$

3.Titik singular dari $f(f'(c))$ tidak ada

Contoh : Carilah titik-titk kritis dari $f(x)=-2x^3+3x^2$ pada $[- \frac{1}{2},2]$

Penyelesaian : Titik-titik ujung adalah $- \frac{1}{2}$ dan $2.$ Untuk mencari titik stasioner kita selesaikan $f'(x)=-6x^2+6x=0$ untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak ada titik-titik singular. Jadi, titik-titik kritis adalah $- \frac{1}{2},0,1,2$

Matematika merupakan ilmu yang sangat luas juga menyenangkan, sebelumnya telah kita bahas mengenai frekuensi harapan dan peluang komplemen suatu kejadian yang merupakan sub bahasan dari topik peluang. Dan kali ini topik yang akan kita pelajari mengenai turunan? anda pasti telah mengenal apa itu turunan bukan?

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

adalah simbol untuk turunan pertama.
adalah simbol untuk turunan kedua.
adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain

dan

adalah

dan

adversitemens

TURUNAN PERTAMA

Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :

1. Jika diketahui

dimana C dan n konstanta real, maka

Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui y=C dan

Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’

contoh :

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :

a. Menentukan gradien garis singgung kurva

Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5

b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !

Jawab :

y’=3x²-6x-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6x-24 = 0

(x²-2x-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2