Ruang Baris, Kolom dan Null

Ruang baris, kolom dan Null

Denisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Denisi Misalkan A adalah suatu matriks mn, maka 1 Subruang dari Rn yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagai ruang baris dari A, dinotasikan dengan row(A). 2 Subruang dari Rm yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagai ruang kolom dari A, dinotasikan dengan col(A). 3 Subruang dari dari Rn yang merupakan ruang penyelesaian dari SPL homogen Ax = 0 dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengan null(A). Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi.
Catatan Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagai peta (image) dari A. Kita memiliki Im(A) = Peta(A) = col(A) = fy 2Rm j y = Ax untuk suatu x 2Rng. Ruang null dari A juga dikatakan sebagai inti atau kernel dari A. Kita memiliki ker(A) = inti(A) = null(A) = fx 2Rn j Ax = 0g. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 11 / 43
Teorema SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A. Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks mn. Teorema di atas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b = 1c1 + 2c2 ++ ncn, untuk suatu 1;2;:::;n 2R, dengan ci (1 i n) adalah vektor-vektor kolom dari A.
MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 12 / 43
Bukti Tulis A =2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5 . Akibatnya kita memiliki
Ax =
2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5
2 6 6 6 4
x1 xn . . . xn
3 7 7 7 5
= 2 6 6 6 4
a11x1 a12x2 a1nxn a21x1 a22x2 a2nxn . . . . . . ... . . . am1x1 am2x2 amnxn
3 7 7 7 5
= x12 6 6 6 4
a11 a21 . . . am1
3 7 7 7 5
+ x22 6 6 6 4
a12 a22 . . . am2
3 7 7 7 5
++ xn
2 6 6 6 4
a1n a2n . . . amn
3 7 7 7 5
MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43
Bukti Tulis A =2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5 . Akibatnya kita memiliki
Ax = 2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5
2 6 6 6 4
x1 xn . . . xn
3 7 7 7 5
= 2 6 6 6 4
a11x1 a12x2 a1nxn a21x1 a22x2 a2nxn . . . . . . ... . . . am1x1 am2x2 amnxn
3 7 7 7 5
=
x12 6 6 6 4
a11 a21 . . . am1
3 7 7 7 5
+ x22 6 6 6 4
a12 a22 . . . am2
3 7 7 7 5
++ xn
2 6 6 6 4
a1n a2n . . . amn
3 7 7 7 5
MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43
Bukti Tulis A =2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5 . Akibatnya kita memiliki
Ax = 2 6 6 6 4
a11 a12 a1n a21 a22 a2n . . . . . . ... . . . am1 am2 amn
3 7 7 7 5
2 6 6 6 4
x1 xn . . . xn
3 7 7 7 5
= 2 6 6 6 4
a11x1 a12x2 a1nxn a21x1 a22x2 a2nxn . . . . . . ... . . . am1x1 am2x2 amnxn
3 7 7 7 5
= x12 6 6 6 4
a11 a21 . . . am1
3 7 7 7 5
+ x22 6 6 6 4
a12 a22 . . . am2
3 7 7 7 5
++ xn
2 6 6 6 4
a1n a2n . . . amn
3 7 7 7 5MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43
= x1c1 + x2c2 ++ xncn Jadi SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika terdapat x1;x2;:::;xn sehingga b = x1c1 + x2c2 ++ xncn.