Basis Ruang Vektor
Himpunan 𝐒 = {𝑣1,𝑣2,𝑣3,….,𝑣𝑛} disebut basis dari ruang vektor V, jika S bebas linear dan S merentang V.
Himpunan S bebas linear berarti penulisan vektor nol sebagai kombinasi linear dari vektorvektor di S adalah tunggal. S merentang V berarti setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Banyaknya anggota basis dari ruang vektor V dinamakan dimensi dari V.
Contoh (basis untuk 𝐑𝟑) Tunjukkan bahwa vektor-vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0), dan 𝒗𝟑 = (3,3,4) merupakan basis untuk 𝐑𝟑.
Penyelesaian: Misalkan S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑}, harus menunjukkan bahwa S bebas linear dan merentang 𝐑𝟑. Untuk membuktikan S bebas linear kita harus menunjukkan persamaan vektor 𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒐 (1) hanya mempunyai penyelesaian trival; dan untuk menunjukkan bahwa vektor S merentang 𝐑𝟑, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor 𝒃 = (𝑏1,𝑏2,𝑏3) di 𝐑𝟑 dapat dinyatakan sebagai 𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒃 (2) Yang dapat diselesaikan melalui perhitungan korespondensi komponen dari dua sisi pada persamaan, yakni kedua persamaan: (1) dan (2); serentak dapat ditunjukkan sebagai sistem persamaan linear 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 0 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏1 2𝑐1 + 9 + 3𝑐3 = 0 2𝑐1 + 9𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏2 (3) 𝑐1 + 4𝑐3 = 0 𝑐1 + 4𝑐3 = 𝑏3
Dengan menyelesaikan (3) (dibiarkan sebagai latihan), bahwa S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑}, dengan vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0), dan 𝒗𝟑 = (3,3,4) merupakan basis untuk 𝐑𝟑. (Karena banyaknya anggota basis 3, maka dimensi R3 adalah 3).
Himpunan S bebas linear berarti penulisan vektor nol sebagai kombinasi linear dari vektorvektor di S adalah tunggal. S merentang V berarti setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Banyaknya anggota basis dari ruang vektor V dinamakan dimensi dari V.
Contoh (basis untuk 𝐑𝟑) Tunjukkan bahwa vektor-vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0), dan 𝒗𝟑 = (3,3,4) merupakan basis untuk 𝐑𝟑.
Penyelesaian: Misalkan S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑}, harus menunjukkan bahwa S bebas linear dan merentang 𝐑𝟑. Untuk membuktikan S bebas linear kita harus menunjukkan persamaan vektor 𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒐 (1) hanya mempunyai penyelesaian trival; dan untuk menunjukkan bahwa vektor S merentang 𝐑𝟑, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor 𝒃 = (𝑏1,𝑏2,𝑏3) di 𝐑𝟑 dapat dinyatakan sebagai 𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒃 (2) Yang dapat diselesaikan melalui perhitungan korespondensi komponen dari dua sisi pada persamaan, yakni kedua persamaan: (1) dan (2); serentak dapat ditunjukkan sebagai sistem persamaan linear 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 0 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏1 2𝑐1 + 9 + 3𝑐3 = 0 2𝑐1 + 9𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏2 (3) 𝑐1 + 4𝑐3 = 0 𝑐1 + 4𝑐3 = 𝑏3
Dengan menyelesaikan (3) (dibiarkan sebagai latihan), bahwa S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑}, dengan vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0), dan 𝒗𝟑 = (3,3,4) merupakan basis untuk 𝐑𝟑. (Karena banyaknya anggota basis 3, maka dimensi R3 adalah 3).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar