Jumat, 14 Desember 2018

Basis Ruang Vektor

Basis Ruang Vektor


Himpunan  𝐒 = {𝑣1,𝑣2,𝑣3,….,𝑣𝑛} disebut  basis dari ruang vektor V, jika S bebas linear dan S merentang V.

Himpunan S bebas linear berarti penulisan vektor nol sebagai kombinasi linear dari vektorvektor di S adalah tunggal.  S merentang V berarti setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

Banyaknya anggota basis dari ruang vektor V dinamakan dimensi dari V. 

Contoh  (basis untuk 𝐑𝟑) Tunjukkan bahwa vektor-vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0),   dan   𝒗𝟑 = (3,3,4)  merupakan basis untuk 𝐑𝟑.

Penyelesaian: Misalkan S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑},  harus menunjukkan bahwa S bebas linear dan merentang 𝐑𝟑. Untuk membuktikan S bebas linear kita harus menunjukkan persamaan vektor 𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒐                 (1) hanya mempunyai penyelesaian trival; dan untuk menunjukkan bahwa vektor S merentang 𝐑𝟑, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor  𝒃 = (𝑏1,𝑏2,𝑏3) di 𝐑𝟑 dapat dinyatakan sebagai  𝑐1𝒗𝟏 + 𝑐2𝒗𝟐 + 𝑐3𝒗𝟑 = 𝒃                (2) Yang dapat diselesaikan melalui perhitungan korespondensi komponen dari dua sisi pada persamaan, yakni kedua persamaan: (1) dan (2); serentak dapat ditunjukkan sebagai sistem  persamaan linear 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 0                         𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏1              2𝑐1 + 9 + 3𝑐3 = 0                          2𝑐1 + 9𝑐2 + 3𝑐3 = 𝑏2          (3)      𝑐1    + 4𝑐3 = 0                            𝑐1               + 4𝑐3 = 𝑏3     

Dengan menyelesaikan (3) (dibiarkan sebagai latihan),  bahwa S = {𝒗𝟏,𝒗𝟐,𝒗𝟑},  dengan vektor 𝒗𝟏 = (1,2,1), 𝒗𝟐 = (2,9,0),   dan  𝒗𝟑 = (3,3,4) merupakan basis untuk 𝐑𝟑.  (Karena banyaknya anggota basis 3, maka dimensi R3 adalah 3).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar