Basis Ruang Vektor
Himpunan π = {π£1,π£2,π£3,….,π£π} disebut basis dari ruang vektor V, jika S bebas linear dan S merentang V.
Himpunan S bebas linear berarti penulisan vektor nol sebagai kombinasi linear dari vektorvektor di S adalah tunggal. S merentang V berarti setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Banyaknya anggota basis dari ruang vektor V dinamakan dimensi dari V.
Contoh (basis untuk ππ) Tunjukkan bahwa vektor-vektor ππ = (1,2,1), ππ = (2,9,0), dan ππ = (3,3,4) merupakan basis untuk ππ.
Penyelesaian: Misalkan S = {ππ,ππ,ππ}, harus menunjukkan bahwa S bebas linear dan merentang ππ. Untuk membuktikan S bebas linear kita harus menunjukkan persamaan vektor π1ππ + π2ππ + π3ππ = π (1) hanya mempunyai penyelesaian trival; dan untuk menunjukkan bahwa vektor S merentang ππ, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor π = (π1,π2,π3) di ππ dapat dinyatakan sebagai π1ππ + π2ππ + π3ππ = π (2) Yang dapat diselesaikan melalui perhitungan korespondensi komponen dari dua sisi pada persamaan, yakni kedua persamaan: (1) dan (2); serentak dapat ditunjukkan sebagai sistem persamaan linear π1 + 2π2 + 3π3 = 0 π1 + 2π2 + 3π3 = π1 2π1 + 9 + 3π3 = 0 2π1 + 9π2 + 3π3 = π2 (3) π1 + 4π3 = 0 π1 + 4π3 = π3
Dengan menyelesaikan (3) (dibiarkan sebagai latihan), bahwa S = {ππ,ππ,ππ}, dengan vektor ππ = (1,2,1), ππ = (2,9,0), dan ππ = (3,3,4) merupakan basis untuk ππ. (Karena banyaknya anggota basis 3, maka dimensi R3 adalah 3).
Himpunan S bebas linear berarti penulisan vektor nol sebagai kombinasi linear dari vektorvektor di S adalah tunggal. S merentang V berarti setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Banyaknya anggota basis dari ruang vektor V dinamakan dimensi dari V.
Contoh (basis untuk ππ) Tunjukkan bahwa vektor-vektor ππ = (1,2,1), ππ = (2,9,0), dan ππ = (3,3,4) merupakan basis untuk ππ.
Penyelesaian: Misalkan S = {ππ,ππ,ππ}, harus menunjukkan bahwa S bebas linear dan merentang ππ. Untuk membuktikan S bebas linear kita harus menunjukkan persamaan vektor π1ππ + π2ππ + π3ππ = π (1) hanya mempunyai penyelesaian trival; dan untuk menunjukkan bahwa vektor S merentang ππ, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor π = (π1,π2,π3) di ππ dapat dinyatakan sebagai π1ππ + π2ππ + π3ππ = π (2) Yang dapat diselesaikan melalui perhitungan korespondensi komponen dari dua sisi pada persamaan, yakni kedua persamaan: (1) dan (2); serentak dapat ditunjukkan sebagai sistem persamaan linear π1 + 2π2 + 3π3 = 0 π1 + 2π2 + 3π3 = π1 2π1 + 9 + 3π3 = 0 2π1 + 9π2 + 3π3 = π2 (3) π1 + 4π3 = 0 π1 + 4π3 = π3
Dengan menyelesaikan (3) (dibiarkan sebagai latihan), bahwa S = {ππ,ππ,ππ}, dengan vektor ππ = (1,2,1), ππ = (2,9,0), dan ππ = (3,3,4) merupakan basis untuk ππ. (Karena banyaknya anggota basis 3, maka dimensi R3 adalah 3).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar