Diagonalisasi
26
P = (u1 u2 ... uk) Dengan ui adalah kolom ke-i dari P. Selanjutnya persamaan (1) dapat ditulis menjadi bentuk: AP = (Au1 Au2 ... Auk) = (u1 u2 ... uk) D dengan D adalah matriks diagonal k k dengan unsur-unsurnya λ1, λ2, ... , λk. Jadi kita dapatkan AP = PD atau PD = AP ................................................ (2) Bentuk ini merupakan bentuk yang ringkas dari persamaan nilai eigen untuk k vektor eigen. Sekarang misalkan matriks A yang berukuran n n mempunyai n vektor eigen, sehingga k = n. Akibatnya matriks P menjadi berukuran n n, dengan kolom-kolomnya vektor-vektor eigen (yang bebas linear), dan P tentunya invertibel. Selanjutnya dengan mengalikan persamaan (2) oleh P-1 dari sebelah kiri kita dapatkan: D = P-1A P ....................................................................... (3) Dengan demikian jika suatu matriks A yang berukuran n n mempunyai n vektor eigen yang bebas linear, maka terdapat matriks P yang inverstibel dan matriks diagonal D sehingga D dapat difaktorkan dalam bentuk persamaan (3). Keadaan ini dinamakan A dapat didiagonalkan (diagonalizable).
Definisi 11. 5. Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan dapat didiaginalkan (dapat didiagonalisasi) jika ada suatu matriks P yang invertibel sedemikian rupa sehingga P-1 A P adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) matriks A.
Dari penjelasan dan definisi di atas, jelaskah bahwa masalah diagonalisasi dari suatu vektor A yang berukuran n n adalah ekuivalen dengan pertanyaan: ”Apakah ada matriks P yang invertibel sehingga P-1 A P adalah matriks diagonal D?”. Prosedur berikut menunjukkan bahwa masalah vektor-vektor igen dan asalahan
27
diaginalisasi adalah setara. Dengan kata lain prosedur berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran n n. Tahap 1. Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A yang berukuran n n. Misalnya p1, p2, ... , pn. Tahap 2. Bentuklah matriks P yang mempunyai p1, p2, ... , pn sebagai vektor-vektor kolomnya. Tahap 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1, λ2, ... , λn sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutannya dan λi adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan pi untuk I = 1, 2, 3, …, n.
Contoh 11. 8
Diketahui matriks A =
16 01
.
Carilah: a) matriks P yang mendiagonalisasi A. b) matriks diagonal D = P-1 A P.
Penyelesaian: a) Persamaan karakteristik matriks A det (λ I – A) = 0
det
16 01
= 0
(λ – 1)( λ + 1) = 0 λ1 = 1 dan λ2 = -1 (nilai-nilai eigen A) Untuk λ1 = 1, sistem persamaan linear homogennya (λ I – A )x = O
26 00
2
1
x x
=
0 0
-6x1 + 2x2 = 0
x1 =
3 1
x2
28
Rtx t 3 1 x 2 1
x = t 1 3 1 t1 t 3 1
.
Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 1 adalah p1 =
1 3 1
Tidak ada komentar:
Posting Komentar