Diagonalisasi

Diagonalisasi

Pada bahasan pembelajaran berikut kita akan mendiskusikan masalah mencari suatu baris untuk Rn yang terdiri dari vektor-vektor eigen dari suatu matriks A yang diketahui berukuran n  n. Basis-basis ini dapat dipakai untuk menelaah sifat-sifat geometris dari matriks A dan sekaligus dipakai untuk menyederhanakan berbagai perhitungan numerik yang melibatkan matriks A. Basis-basis sangat penting dalam berbagai penerapan aljabar linear, dan beberapa diantaranya akan kita diskusikan dalam bahasan pembelajaran modul berikutnya.  Seperti telah kita ketahui dalam bahasan modl-modul sebelumnya tentang matriks, bahwa salah satu teoremanya adalah pengkombinasian banyak persamaan menjadi satu. Cara penulisan sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan dengan n variabel menjadi sebuah persamaan matriks telah kita pelajari dalam Modul 2 (Sistem Persamaan Linear). Sedangkan cara menyelesaikan sistem persamaan linear AX = b dengan A matriks berukuran n  n yang invertibel dapat dilakukan dengan bantuan matriks A-1, sehingga terjadi pengkombinasian A-1AX = A-1b atau X = A-1b.  Berdasarkan ide yang sama seperti di atas, maka dalam bagian ini kita akan mengkombinasikan persamaan nilai eigen untuk beberapa vektor eigen yang berlainan ke dalam persamaan matriks yang tunggal. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan penjelasan berikut ini.  Pandang matriks A berukuran n  n dengan vektor-vektor eigen (yang bebas linear) u1, u2, ... , uk yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ1,  λ2, ... , λk. Sebagai akibatnya maka Au1 = λ1u1, Au2 = λ2u2, ... , Auk = λkuk atau                                    Aur = λrur  dengan r = 1, 2, ..., k.   ....................................   (1)  Vektor-vektor ui dapat dikelompokkan menjadi bentuk matriks n  k, yang ditulis sebagai matriks partisi 
 26
P = (u1      u2       ...        uk) Dengan ui adalah kolom ke-i dari P. Selanjutnya persamaan (1) dapat ditulis menjadi bentuk: AP = (Au1      Au2       ...        Auk)                                                = (u1      u2       ...        uk) D dengan D adalah matriks diagonal k  k dengan unsur-unsurnya λ1, λ2, ... , λk. Jadi kita dapatkan                                        AP = PD atau PD = AP   ................................................   (2) Bentuk ini merupakan bentuk yang ringkas dari persamaan nilai eigen untuk k vektor eigen.  Sekarang misalkan matriks A yang berukuran n  n mempunyai n vektor eigen, sehingga k = n. Akibatnya matriks P menjadi berukuran n  n, dengan kolom-kolomnya vektor-vektor eigen (yang bebas linear), dan P tentunya invertibel. Selanjutnya dengan mengalikan persamaan (2) oleh P-1 dari sebelah kiri kita dapatkan:                                  D = P-1A P   .......................................................................    (3) Dengan demikian jika suatu matriks A yang berukuran n  n mempunyai n vektor eigen yang bebas linear, maka terdapat matriks P yang inverstibel dan matriks diagonal D sehingga D dapat difaktorkan dalam bentuk persamaan (3). Keadaan ini dinamakan A dapat didiagonalkan (diagonalizable).

Definisi 11. 5. Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan dapat didiaginalkan (dapat didiagonalisasi) jika ada suatu matriks P yang invertibel sedemikian rupa sehingga P-1 A P adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) matriks A.

 Dari penjelasan dan definisi di atas, jelaskah bahwa masalah diagonalisasi dari suatu vektor A yang berukuran n  n adalah ekuivalen dengan pertanyaan: ”Apakah ada matriks P yang invertibel sehingga P-1 A P adalah matriks diagonal D?”. Prosedur berikut menunjukkan bahwa masalah vektor-vektor igen dan asalahan
 27
diaginalisasi adalah setara. Dengan kata lain prosedur berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran n  n. Tahap 1.  Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A yang berukuran     n  n. Misalnya p1, p2, ... , pn. Tahap 2.  Bentuklah matriks P yang mempunyai p1, p2, ... , pn sebagai vektor-vektor kolomnya. Tahap 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1, λ2, ... , λn sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutannya dan λi adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan pi untuk I = 1, 2, 3, …, n.

Contoh 11. 8
Diketahui matriks A =
16 01
.
Carilah: a) matriks P yang mendiagonalisasi A.               b) matriks diagonal D = P-1 A P.

Penyelesaian: a)  Persamaan karakteristik matriks A det (λ I – A) = 0
                                                   det
16 01
 = 0
                                                   (λ – 1)( λ + 1) = 0                                                         λ1 = 1 dan λ2 = -1       (nilai-nilai eigen A)  Untuk λ1 = 1, sistem persamaan linear homogennya  (λ I – A )x = O
 
26 00

2
1
x x
 =
0 0

 -6x1 + 2x2 = 0
 x1 =
3 1
x2
 28

Rtx t 3 1 x 2 1
 x = t 1 3 1 t1 t 3 1
.
Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 1 adalah p1 =
1 3 1