Basis dan Dimensi

Basis dan Dimensi

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v₁, v₂, v₃, ….., v_n} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
        i.            S bebas linier;
      ii.            S serentang V.
Contoh 1
Misalkan e₁ = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e₂ = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , e_n = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e₁, e₂, … , e_n } adalah himpunan bebas linier dengan Rⁿ. Karena setiap vector v = (v₁, v₂, … , v_n) pada Rⁿ dapat dituliskan sebagai v = v₁e₁ +  v₂e₂ + … + v_ne_n, maka S merentang Rⁿ sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rⁿ.
Contoh 2
Misalkan v₁ = ( 1, 2, 1 ), v₂ = ( 2, 9, 0 ), dan v₃ = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v₁, v₂, v₃ } adalah basis untuk R³.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R³, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b₁, b₂, b₃ ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b₁, b₂, b₃ ) = k₁ ( 1, 2, 1 ) + k₂ ( 2, 9, 0 ) + k₃ ( 3, 3, 4 )
atau
( b₁, b₂, b₃ ) = ( k₁ + 2k₂ + 3k₃, 2k₁ + 9k₂ + 3k₃, k₁ + 4k₃ )
atau
k₁ + 2k₂ + 3k₃               = b₁
2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = b₂
k₁            + 4k₃             = b₃                                               (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b₁, b₂, b₃ ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0                                                   (1.2)
adalah k₁ = k₂ = k₃ = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen
k₁ + 2k₂ + 3k₃               = 0
2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = 0
k₁            + 4k₃             = 0                                           (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R³ dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R³.
Contoh 3
Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni
c₀ + c₁x + … + c_nxⁿ = 0 (untuk semua x)                                              (1.4)
Kita harus perlihatkan bahwa c₀ = c₁ = … = c_n = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c₁ = c₂ = … = c_n = 0; kalau tidak, maka c₀ + c₁x + … c_nxⁿ dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.
Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pⁿ.
Contoh 3
Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:
. Cari basis dan dimensi dari ruang V!
Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}
Dimensi V = 2