Crout & Doolitle

Metode Crout

Dekomposisi Matriks Crout adalah dekomposisi LU yang terurai sebuah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L), sebuah matriks segitiga atas (U) dan, meskipun tidak selalu diperlukan, matriks permutasi (P). 

metode dekomposisi matriks dapat digunakan untuk mencari atau menyelesaikan nilai dari determinan matriks secara lebih mudah. Judul determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar diambil karena metode ini adalah salah satu cara untuk menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, adapun beberapa metode yang telah ada dalam menentukan hasil determian suatu matriks, namun cara tersebut tidak kurang cocok dan masih terlalu sempit dalam menentukan nilai hasil determinan matrik pada matriks bujur sangkar dibandingkan dengan metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout ini.

Untuk mengetahui metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout, apakah menentukan determinan suatu matriks dapat digunakan oleh semua jenis matriks atau tidak.

Sistem Penyelesaian :
Menggunakan Sistem Segitiga Atas & Bawah Tumpuan kolom parsial Elemen tumpuan dan kolom tumpuan Memilih elemen tumpuan: baris 1 maks.dari nilai mutlak {-1,2,1} Karena 2 terletak pada kolom 2 maka pertukarkan kolom 1 dgn kolom 2

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Suatu persamaan linear dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:

 

difaktorisasi menjadi:

 

Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:

Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:
1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:
    untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:
    untuk i=2 sampai n

3. untuk i = 2 sampai n-1

 

                   untuk j = i + 1 sampai n

 

4. Hitung indeks terakhir:

                             

Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:

maka

untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n

nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:

dengan cara:

untuk i=n-1 sampai 1

Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:

• matriks harus square.
• tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).